Question

已知復(fù)數(shù)z₁滿足（1-i）z₁=1+3i，z₂=a-i（a∈R），其中i為虛數(shù)單位．
（1）求z₁
（2）若z₁是關(guān)于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，求實數(shù)p、q的值．
（3）若 ，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為復(fù)數(shù)z₁滿足（1-i）z₁=1+3i，
所以…（3分）
（2））z₁是關(guān)于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，實系數(shù)方程虛根成對，
由韋達定理可知p=-1+2i+（-1-2i）=-2，q=（-1+2i）（-1-2i）=1+4=5，
所以p=-2，q=5…（6分）
（3）…（8分）
由，∴（-1-a）²+1＞10…（10分）
∴a＜-4，或a＞2故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4）∪（2，+∞）．…（12分）
分析：（1）化簡復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為a+bi的形式即可得到z₁．
（2）若z₁是關(guān)于x的實系數(shù)方程x²-px+q=0的一個根，求出另一個根，利用韋達定理即可求實數(shù)p、q的值．
（3）求出的模，利用 ，得到a的關(guān)系式，即可求實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題是中檔題，考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)模的求法，復(fù)數(shù)方程的應(yīng)用，考查計算能力．