Question

2．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinAsinB+bcos²A=$\frac{5}{3}$a．
（I）求$\frac{a}$；
（Ⅱ）若c²=a²+$\frac{8}{5}\;{b^2}$，求角C．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，整理即可得解．
（II）設(shè)b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（I）由正弦定理得，${sin^2}AsinB+sinB{cos^2}A=\frac{5}{3}sinA$，…（3分）
即$sinB（{sin^2}A+{cos^2}A）=\frac{5}{3}sinA$，
故$sinB=\frac{5}{3}sinA，所以\frac{a}=\frac{5}{3}$． …（6分）
（II）設(shè)b=5t（t＞0），則a=3t，于是${c^2}={a^2}+\frac{8}{5}\;{b^2}=9{t^2}+\frac{8}{5}•25{t^2}=49{t^2}$．
即c=7t．…（9分）
由余弦定理得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{9{t^2}+25{t^2}-49{t^2}}}{2•3t•5t}=-\frac{1}{2}$．
所以$C=\frac{2π}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．