Question

設(shè)函數(shù)，，（其中e為自然底數(shù)）；
（Ⅰ）求y=f（x）-g（x）（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函數(shù)h（x）=kx+b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函數(shù)的表達(dá)式，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=g（a_n-1）（n≥2），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出y=f（x）-g（x），用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（）=g（）=，從而得h（）=，于是h（x）可表示為關(guān)于k的一次函數(shù)，根據(jù)f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，從而可求得h（x）表達(dá)式，再驗證h（x））≥g（x）對一切x＞0恒成立即可；
（3）由（Ⅱ）先證{a_n}遞減且＜a_n＜1（n≥2），然后進(jìn)行放縮：（a_k-a_k+1）•a_k+1＜=，求和利用上述結(jié)論即可證明；
解答：解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）的定義域為{x|x＞0}，y=f（x）-g（x）=，
y′=2x-=，易知0＜x＜時y′＜0，x＞時y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增，
所以x=時y=f（x）-g（x）取得最小值為0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）=g（）=，所以h（）=，
所以可設(shè)h（x）=kx+-，代入f（x）≥h（x），得-≥0恒成立，
所以△=（k-1）²≤0，所以k=1，h（x）=x，
設(shè)G（x）=x-ln（2ex），則G′（x）=1-，
當(dāng)0＜x＜時G′（x）＜0，當(dāng)x＞時G′（x）＞0，易知G（x）≥G（）=0，即h（x）≥g（x）對一切x＞0恒成立；
綜上，存在h（x）=x符合題目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）圖象的公切線．
（Ⅲ） 先證 {a_n}遞減且＜a_n＜1（n≥2）；
由（Ⅱ）知g（x）≤x，所以a_n=g（a_n-1）≤a_n-1，即{a_n}為遞減數(shù)列；
又a₁=1，，所以，…
因為當(dāng)a_k＞時總有，
所以＜…＜a_n＜a_n-1＜…＜a₁=1；
所以＜==＜=．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立及數(shù)列與不等式的綜合問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大，對學(xué)生能力要求較高．