Question

9．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=-1+2a_n
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，且數列{b_n}的前n項和為T_n，求$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數列遞推式求出首項，進一步得當n≥2時，S_n-1=-1+2a_n-1，與原遞推式聯(lián)立可得a_n=2a_n-1（n≥2），即{a_n}是2為公比，1為首項的等比數列，再由等比數列的通項公式求得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把數列通項公式代入b_n=log₂a_n+1，求出數列{b_n}的前n項和為T_n，再由裂項相消法求$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

解答 解：（Ⅰ）由已知，有S_n=-1+2a_n，①
當n=1時，a₁=-1+2a₁，即a₁=1．
當n≥2時，S_n-1=-1+2a_n-1，②
①-②得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2）．
∴{a_n}是2為公比，1為首項的等比數列，即${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$_{n}=lo{g}_{2}{a}_{n+1}=lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，
∴${T}_{n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}+…+\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+…+$$\frac{2}{n（n+1）}$
=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=2$（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．