Question

9．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=-1+2a_n
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列遞推式求出首項(xiàng)，進(jìn)一步得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=-1+2a_n-1，與原遞推式聯(lián)立可得a_n=2a_n-1（n≥2），即{a_n}是2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列通項(xiàng)公式代入b_n=log₂a_n+1，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，再由裂項(xiàng)相消法求$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

解答 解：（Ⅰ）由已知，有S_n=-1+2a_n，①
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=-1+2a₁，即a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=-1+2a_n-1，②
①-②得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2）．
∴{a_n}是2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得$_{n}=lo{g}_{2}{a}_{n+1}=lo{g}_{2}{2}^{n}=n$，
∴${T}_{n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{T}_{1}}+\frac{1}{{T}_{2}}+…+\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+…+$$\frac{2}{n（n+1）}$
=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=2$（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．