Question

15．設a，b∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax，$g（x）=\frac{x}$．
（Ⅰ）若f（x）=lnx-ax與$g（x）=\frac{x}$有公共點P（1，m），且在P點處切線相同，求該切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有極值但無零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當a＞0，b=1時，求F（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列關于a，b的方程組，求解方程組可得a，b的值，進一步求得g′（1），g（1），代入直線方程的點斜式得答案；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，可知a≤0時，$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$恒成立，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）單調(diào)遞增，此時無極值；當a＞0時，求出函數(shù)有極大值，由絕對值小于0求得實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）由已知可得F（x）解析式，求導后可得F′（x）=$\frac{{-（{a{x^2}-x-1}）}}{x^2}$．設h（x）=ax²-x-1，依據(jù)a分類討論求得函數(shù)在區(qū)間[1，2]的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=g'（1）\\ f（1）=g（1）\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-a=-b\\-a=b\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∴g′（1）=$\frac{1}{2}$，g（1）=$-\frac{1}{2}$，
在點$P（{1，-\frac{1}{2}}）$的切線方程為$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y-2=0；
（Ⅱ）當a≤0時，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$恒成立，可知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）單調(diào)遞增，此時無極值；
當a＞0時，由$f'（x）=\frac{1}{x}-a=0$，得$x=\frac{1}{a}＞0$．
由$f'（x）=\frac{1}{x}-a＞0$，得$x∈（{0，\frac{1}{a}}）$；$f'（x）=\frac{1}{x}-a＜0$，得$x∈（{\frac{1}{a}，+∞}）$．
于是，$x=\frac{1}{a}$為極大值點，且${f_{max}}（x）=f（{\frac{1}{a}}）$=-lna-1．
由于函數(shù)f（x）無零點，因此${f_{max}}（x）=f（{\frac{1}{a}}）$=-lna-1＜0，解得$a＞\frac{1}{e}$；
（Ⅲ）不妨設$F（x）=lnx-ax-\frac{1}{x}$，得$F'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{1}{x^2}$=$\frac{{-（{a{x^2}-x-1}）}}{x^2}$．
設h（x）=ax²-x-1，
∵a＞0，∴△=1+4a＞0，
設h（x）=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
由${x_1}•{x_2}=-\frac{1}{a}＜0$，得x₁＜0，x₂＞0，且${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+4a}}}{2a}$．
∴$F'（x）=\frac{{-a（{x-{x_1}}）（{x-{x_2}}）}}{x^2}$．
由F'（x）=0，得x=x₂．
∴當F'（x）＞0時，x₂＞x＞0；當F'（x）＜0時，x＞x₂．
∴F（x）在（0，x₂]單調(diào)遞增，在[x₂，+∞）上單調(diào)遞減．
①當0＜x₂≤1，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2a}＜1\\ h（1）≥0\end{array}\right.$，即a≥2時，[1，2]⊆[x₂，+∞），F(xiàn)（x）在[1，2]遞減，
∴F（x）_min=F（2）=$ln2-\frac{1}{2}-2a$；
②當x₂≥2，即h（2）≤0，即$0＜a≤\frac{3}{4}$時，[1，2]⊆（0，x₂]，F(xiàn)（x）在[1，2]遞增，
∴F（x）_min=F（1）=-a-1；
③當1＜x₂＜2，即$\frac{3}{4}＜a＜2$時，F(xiàn)（x）在[1，x₂]遞增，[x₂，2]遞減，
∴F（2）-F（1）=$ln2-\frac{1}{2}-2a+a+1$=$ln2+\frac{1}{2}-a$．
（i）當$ln2+\frac{1}{2}≤a＜2$時，F(xiàn)（2）≤F（1），∴F（x）_min=F（2）=$ln2-\frac{1}{2}-2a$；
（ii）當$\frac{3}{4}＜a＜ln2+\frac{1}{2}$時，F(xiàn)（2）＞F（1），∴F（x）_min=F（1）=-a-1．
綜合①、②、③得，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為：F（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-a-1，（{0＜a＜ln2+\frac{1}{2}}）\\ ln2-\frac{1}{2}-2a，（{a≥ln2+\frac{1}{2}}）\end{array}\right.$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，著重考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中（Ⅲ）涉及二次函數(shù)的分類討論問題，關鍵是做到分類不重不漏，屬難題．