Question

已知（x+

1

2 3 x

）ⁿ的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n的值；   
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1））求得（x+

1

2• 3 x

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式，再根據(jù)展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列求得n的值．
（2）令x的冪指數(shù)

3×8-4r

3

=0，解得 r=6，由此求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：（1）∵（x+

1

2• 3 x

）ⁿ的展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•x^n-r•

1

2r

•x-

r

3

=

1

2r

•

C

r n

•x

3n-4r

3

，
故由展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列可得

C

0 n

+

1

4

C

2 n

=2

1

2

•C

1 n

，解得 n=6，或 n=1（舍去）．
即 n=8．
（2）令

3×8-4r

3

=0，解得 r=6，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T₇=

1

26

•

C

6 8

=

7

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于中檔題．