Question

已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)恒成立．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合；
（Ⅲ）求證：.

Answer 1

（Ⅰ） 減區(qū)間是,增區(qū)間是；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）確定定義域，求，由 求得增區(qū)間，由 求得減區(qū)間；（Ⅱ）利用在區(qū)間上，恒成立，則求解；（Ⅲ）利用構(gòu)造法，構(gòu)造新函數(shù)求解.
試題解析：(Ⅰ),,，
的減區(qū)間是,增區(qū)間是.                       (2分)
(Ⅱ)恒成立,即,
,恒成立.                              (3分)
設(shè),,
由于在上是增函數(shù),且,
時(shí),是減函數(shù),時(shí),是增函數(shù),
,從而若恒成立,必有.   (5分)
又,的取值集合為.                               (6分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
時(shí),有.      
,                       (9分)
設(shè),
則,
當(dāng)時(shí),是減函數(shù),
當(dāng)時(shí),是增函數(shù),
,即成立.                    (12分)