Question

設(shè)數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，…的前n項的和S_n與a_n的關(guān)系是S_n=ka_n+1，（其中k是與n無關(guān)的常數(shù)，且k≠1）．
（1）試寫出用n，k表示的a_n的表達式；
（2）若=1，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵S_n=ka_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（ka_n+1+1）-（ka_n+1），
∴a_n+1=ka_n+1-ka_n，即 （k-1）a_n+1=ka_n，
∵
若k≠0，則由題設(shè)知a₁≠0，由（1）式易知a_n≠0，n≥1，
∴故該數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
其首項為
∴
當k=0時，由（1）式知a_n=0，上式當n≥1時對k=0也成立．
（2）若，即，
，
∴
∴k的范圍：k＜
分析：（1）由前n項的和S_n與a_n的關(guān)系 a_n+1=S_n+1-S_n，得到數(shù)列的遞推公式，注意分析k是否為零，再求數(shù)列的通項公式．
（2）利用極限的值和第（1）的結(jié)果，代入s_n整理出關(guān)于k的式子，再求k的值．
點評：本題由前n項和公式和s_n和a_n的關(guān)系式，求出遞推公式，然后求數(shù)列的通項公式；再由所給的極限值求k的范圍．