Question

設a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）若a=3，求曲線y=f（x）在P（1，-3）處的切線方程；
（2）若f（x）有零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）有兩個相異零點x₁，x₂，求證：x₁•x₂＞e²．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出當a=3 時的導數(shù)，再求切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）對a討論，分a=0，a＜0，a＞0，可通過解方程和零點存在定理以及應用導數(shù)求極值，令極大值不小于0，即可得到；
（3）原不等式x₁x₂＞e²?lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

，
令

x1

x2

=t，則t＞1，于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．設函數(shù)g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）．求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，由單調(diào)性即可得證．

解答： 解：在區(qū)間（0，+∞）上，f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

．
（1）當a=3 時，f'（x）=

1

x

-3．
曲線y=f（x）在P（1，-3）處的切線斜率為1-3=-2，
則切線方程為y-（-3）=-2（x-1），即2x+y+1=0；
（2）①若a=0，f（x）=lnx有唯一零點x=1．
②若a＜0，則f′（x）＞0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的增函數(shù)，
∵f（1）=-a＞0，f（e^a）=a-ae^a=a（1-e^a）＜0，
∴f（1）•f（e^a）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）有唯一零點．
③若a＞0，令f′（x）=0得：x=

1

a

．
在區(qū)間（0，

1

a

）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
在區(qū)間（

1

a

，+∞）上，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
故在區(qū)間（0，+∞）上，f（x）的極大值為f（

1

a

）=ln

1

a

-1=-lna-1．
由f(

1

a

)≥0 即-lna-1≥0，解得：a≤

1

e

．
故所求實數(shù)a的取值范圍是(-∞，

1

e

]．
（3）證明：設x₁＞x₂＞0，∵f（x₁）=f（x₂）=0∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴l(xiāng)nx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
原不等式x₁x₂＞e²?lnx₁+lnx₂＞2?a（x₁+x₂）＞2，
?

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

?ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

，
令

x1

x2

=t，則t＞1，于是ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

?lnt＞

2(t-1)

t+1

．
設函數(shù)g（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）．
求導得：g′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函數(shù)g（t）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞

2(t-1)

t+1

（t＞1）成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間和極值，考查函數(shù)的零點問題，注意運用零點存在定理，考查不等式的證明，注意構造函數(shù)應用導數(shù)判斷單調(diào)性加以證明，屬于中檔題．