【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知為橢圓的上頂點,P為橢圓E上異于上、下頂點的一個動點.當點P的橫坐標為時,.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)設M為x軸的正半軸上的一個動點.
①若點P在第一象限內(nèi),且以AP為直徑的圓恰好與x軸相切于點M,求AP的長.
②若,是否存在點N,滿足,且AN的中點恰好在橢圓E上?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)①;②存在點滿足題意.
【解析】
(1)根據(jù)題意可知,可求出P點坐標,代入方程求出即可;
(2)①設,則可表示出圓心坐標可設為,,根據(jù)圓的性質(zhì)及點P在橢圓上列出方程組求解即可;
②設,,根據(jù), AN的中點恰好在橢圓E上,且得到點坐標,即可求解.
(1)因為是橢圓E的上頂點,所以.
當點P的橫坐標為時,.
設,則,解得,
所以橢圓E的標準方程為.
(2)①設,則以AP為直徑的圓的圓心坐標可設為.
又因為,所以.
因為,所以,
得.
因為點P在橢圓E上,所以,
與聯(lián)立解得(負值舍去),
所以.
②設,.
因為,
所以,
解得,
所以AN的中點坐標為
因為AN的中點在橢圓E上,
所以.(*)
因為,所以.
因為點P在橢圓E上,
所以,(**)
與聯(lián)立消去得
.
又因為,所以,
代入(*)式和(**)式得
消去m得.
又因為.所以,
代入(**)式和,
解得(負值舍去),
故.
綜上,存在點,滿足
且AN的中點恰好在橢圓E上.
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【題目】在1與2之間插入個正數(shù),使這個數(shù)成等比數(shù)列;又在1與2之間插入個正數(shù),使這個數(shù)成等差數(shù)列.記.
(1)求數(shù)列和的通項;
(2)當時,比較與大小并證明結(jié)論.
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【題目】已知直線,圓.
(1)試證明:不論為何實數(shù),直線和圓總有兩個交點;
(2)當取何值時,直線被圓截得的弦長最短,并求出最短弦的長.
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【題目】已知拋物線的焦點為F,過點F,斜率為1的直線與拋物線C交于點A,B,且.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點Q(1,1)作直線交拋物線C于不同于R(1,2)的兩點D、E,若直線DR,ER分別交直線于M,N兩點,求|MN|取最小值時直線DE的方程.
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【題目】在直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為,且直線與曲線C有兩個不同的交點.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知M為曲線C上一點,且曲線C在點M處的切線與直線垂直,求點M的直角坐標.
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【題目】對于數(shù)對序列、、、,記,,其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù).
(1)對于數(shù)對序列,,求,的值;
(2)記為、、、四個數(shù)中最小值,對于由兩個數(shù)對、組成的數(shù)對序列、和、,試分別對和的兩種情況比較和的大;
(3)在由個數(shù)對、、、、組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個數(shù)對序列使最小,并寫出的值.(只需寫出結(jié)論)
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【題目】如圖,雙曲線的兩頂點為,,虛軸兩端點為,,兩焦點為,,若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,切點分別為,,,.則
(1)雙曲線的離心率______;
(2)菱形的面積與矩形的面積的比值______.
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【題目】已知拋物線的焦點為F,過F的直線交拋物線C于,兩點.
(Ⅰ)當時,求的值;
(Ⅱ)過點A作拋物線準線的垂線,垂足為E,過點B作EF的垂線,交拋物線于另一點D,求面積的最小值.
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