Question

已知函數(shù)奇函數(shù)f(x)=lg

1-ax

1+x

．求：
（1）求實(shí)數(shù)a的值； 
（2）求函數(shù)f（x）的定義域； 
（3）解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程f（-x）=-f（x），即可求實(shí)數(shù)a的值； 
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的定義域； 
（3）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，∴lg?

1+ax

1-x

?

1-ax

1+x

=0，即

1-a2x2

1-x2

=1，
∴1-a²x²=1-x²，解得a=±1，
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lg1=0，結(jié)合題意，不合適．
故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=lg

1-x

1+x

，要使函數(shù)有意義，
則

1-x

1+x

＞0，即（1+x）（1-x）＜0，解得-1＜x＜1，
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．
（3）∵f（x）＞0，∴l(xiāng)g

1-x

1+x

＞0，即

1-x

1+x

＞1，
∵-1＜x＜1，∴0＜x+1＜2，
即不等式等價(jià)為1-x＞1+x，即x＜0，
∴此時(shí)-1＜x＜0．
∴不等式的解集為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．