Question

已知等比數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且a₁=1，S₆=28S₃，各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n且T₃=15．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式和b₂；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n；
（3）在（2）的條件下證明．

Answer 1

解：（1）由已知得∴
又{b_n}為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以T₃=3b₂=15，∴b₂=5
（2）∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d
∴（3+5）²=（6-d）（14+d）
∴d=2，d=-10（舍去）
∴b_n=2n+1，b₁=3
∴
（3）由（2）知

==
分析：（1）由題意可求q，進(jìn)而得{a_n}的通項公式，再由等差數(shù)列的性質(zhì)易得b₂的值；
（2）由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，可求數(shù)列{b_n}的公差，即得數(shù)列{b_n}的通項為b_n=2n+1，可求和；（3）由（2）知，符合用裂項相消法求和，即得結(jié)論．
點評：本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及裂項相消法，準(zhǔn)確利用公式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．