關(guān)于函數(shù)f(x)=4cos(2x+
π
3
),x∈R
有下列命題:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數(shù)倍;
②y=f(x)與y=4sin(2x-
π
6
)
是同一函數(shù);
③y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-
π
6
,0)
對(duì)稱(chēng);
④y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-
π
6
對(duì)稱(chēng);
f(x+
π
6
)=f(x-
6
)

其中正確命題的序號(hào)是
④⑤
④⑤
.(注:多選少選均不給分)
分析:求出函數(shù)的周期判斷①不正確,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f(x)可得②不正確,求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心判定③不正確,根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義可得f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-
π
6
對(duì)稱(chēng),故④正確,
利用誘導(dǎo)公式分別化簡(jiǎn)f(x+
π
6
)
f(x-
6
)
,可得f(x+
π
6
)=f(x-
6
)
,⑤正確.
解答:解:對(duì)于函數(shù) f(x)=4cos(2x+
π
3
),x∈R
,它的周期等于
2
=π,
①由f(x1)=f(x2)=0,可得x1-x2必是半個(gè)周期
π
2
的整數(shù),故①不正確.
②f(x)=4cos(2x+
π
3
)=4sin(
π
2
-2x-
π
3
)=-4sin(2x+
π
3
-
π
2
)=4sin(2x-
π
6
),故②不正確.
③由2x+
π
3
=kπ+當(dāng)x=-
π
6
時(shí),函數(shù)f(x)=4≠0,故f(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(-
π
6
,0)
對(duì)稱(chēng),故③不正確.
④當(dāng)x=-
π
6
時(shí),函數(shù)f(x)=4,是函數(shù)的最大值,故f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-
π
6
對(duì)稱(chēng),故④正確.
⑤∵f(x+
π
6
)
=4cos[2(x+
π
6
)+
π
3
]
=4cos(2x+
3
),f(x-
6
)
=4cos[2(x-
6
)+
π
3
]=
4cos(2x-
3
)=4cos(2x+
3
),故f(x+
π
6
)=f(x-
6
)
,故⑤正確.
故答案為:④⑤.
點(diǎn)評(píng):本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì),考查基本概念,基本知識(shí)的理解掌握程度,是基礎(chǔ)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
4
)
,有下列命題:
①其表達(dá)式也可寫(xiě)成f(x)=cos(2x+
π
4
)
;
②直線(xiàn)x=-
π
8
是f(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸;
③函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向右平移
π
4
個(gè)單位得到;
④存在α∈(0,π),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立,
則其中真命題為
②④
②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

關(guān)于函數(shù)f(x)=2sin(3x-
3
4
π)
,有下列命題:
①其最小正周期為
2
3
π
;     
②其圖象由y=2sin3x向左平移
π
4
個(gè)單位而得到;
③其表達(dá)式寫(xiě)成f(x)=2cos(3x+
3
4
π)
;
④在x∈[
π
12
,
5
12
π]
為單調(diào)遞增函數(shù);
則其中真命題的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg
x2+1
|x|
(x≠0)
,有下列命題:(1)其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)是增函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)是減函數(shù);(3)f(x)在區(qū)間(-1,0)和(1,+∞)上均為增函數(shù);(4)f(x)的最小值是lg2.其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是( 。
A、(1)(2)(3)
B、(1)(2)(4)
C、(1)(3)(4)
D、(2)(3)(4)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)=
4-|8x-12|(1≤x≤2)
1
2
f(
x
2
)(x>2)
,則( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+
π
3
)
,x∈R有下列命題:
①由f(x1)=f(x2)=0可知,x1-x2必是π的整數(shù)倍;
②y=f(x)的表達(dá)式可改寫(xiě)為y=4cos(2x-
π
6
)
;
③y=f(x)在[-
4
,-
π
2
]
單調(diào)遞減;
④若方程f(x)-m=0在x∈[0,
π
2
]
恰有一解,則m∈[-2
3
,2
3
)
;
⑤函數(shù)y=|f(x)+1|的最小正周期是π,
其中正確的命題序號(hào)是
 

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