Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）當a=1時，，

可知當x∈[1，e]時f（x）為增函數(shù)，
最小值為，
要使?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故實數(shù)m的取值范圍是
（2）已知函數(shù)．
若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，
等價于對任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即恒成立．
設．
即g（x）的最大值小于0.
（1）當時，，
∴為減函數(shù)．
∴g（1）=-a-≤0
∴a≥-
∴
（2）a≥1時，．
為增函數(shù)，
g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時不滿足條件．
（3）當時，g（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
同樣最大值可無窮大，不滿足題意．綜上．實數(shù)a的取值范圍是．
分析：（I）將a的值代入f（x），求出f（x）的導函數(shù)；，將?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函數(shù)遞增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．
（II）將圖象的位置關系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立；通過構造函數(shù)，對新函數(shù)求導，對導函數(shù)的根與區(qū)間的關系進行討論，求出新函數(shù)的最值，求出a的范圍．
點評：解決不等式恒成立及不等式有解問題一般都轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過導數(shù)求函數(shù)的最值，進一步求出參數(shù)的范圍．