Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

在點（-1，f（-1））的切線方程為x+y+3=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=lnx，求證：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求證：

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．

Answer 1

分析：（I）將切點橫坐標(biāo)代入切線方程，求出切點，得到關(guān)于a，b的等式，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，將x=-1代入導(dǎo)函數(shù)，令得到的值等于切線的斜率-1．
（II）將要證的不等式變形，構(gòu)造新函數(shù)h（x），求出其導(dǎo)函數(shù)，判斷出其符號，判斷出h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最小值，得到要證的不等式．
（III）將要證的不等式變形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于

b

a

的不等式，利用（II）得到的函數(shù)的單調(diào)性，得到恒成立的不等式，變形即得到要證的不等式．

解答：解：（Ⅰ）將x=-1代入切線方程得y=-2
∴f(-1)=

b-a

1+1

=-2，
化簡得b-a=-4
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

f′(-1)=

2a+2(b-a)

4

=

2b

4

=

b

2

=-1
解得：a=2，b=-2．
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．
（Ⅱ）由已知得lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
化簡（x²+1）lnx≥2x-2
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立
設(shè)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2
∵x≥1
∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，
即h'（x）≥0
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立                      
（Ⅲ）∵0＜a＜b
∴

b

a

＞1，
由（Ⅱ）知有ln

b

a

＞

2 b a -2

( b a )2+1

整理得

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

∴當(dāng)0＜a＜b時，

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是證明不等式恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運算量過大，解題時要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運算失誤，導(dǎo)致解題失�。�