Question

12．已知函數(shù)$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）+\sqrt{3}sin（4x+\frac{π}{3}）$
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{48}$個(gè)單位，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在[-π，0]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin4x-\frac{1}{2}cos4x）+\sqrt{3}•（\frac{1}{2}sin4x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos4x）$=$\sqrt{3}sin4x+cos4x$=$2sin（4x+\frac{π}{6}）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤4x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得$\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}]$，k∈Z．
（Ⅱ）將$f（x）=2sin（4x+\frac{π}{6}）$的圖象向左平移$\frac{π}{48}$個(gè)單位，得到$y=2sin[4（x+\frac{π}{48}）+\frac{π}{6}]$=$2sin（4x+\frac{π}{4}）$，
再將$y=2sin（4x+\frac{π}{4}）$圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到$g（x）=2sin（x+\frac{π}{4}）$．
∵x∈[-π，0]，∴$x+\frac{π}{4}∈[-\frac{3}{4}π，\frac{π}{4}]$．∴$sin（x+\frac{π}{4}）∈[-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
∴$g（x）∈[-2，\sqrt{2}]$．
∴函數(shù)y=g（x）在[-π，0]上的值域?yàn)?[-2，\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用兩角和差的正弦公式結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．