設(shè)函數(shù)f(x)=cos2x+asinx-
a
4
-
1
2

(1)當 0≤x≤
π
2
時,用a表示f(x)的最大值M(a);
(2)當M(a)=2時,求a的值,并對此a值求f(x)的最小值;
(3)問a取何值時,方程f(x)=(1+a)sinx在[0,2π)上有兩解?
分析:(1)用同角公式對f(x)化簡得f(x)=-sin2x+asinx+1-
a
4
-
1
2
,設(shè)sinx=t,則函數(shù)g(t)是開口向下,對稱軸為t=
a
2
的拋物線,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),對a進行討論得出答案.
(2)M(a)=2代入(1)中的M(a)的表達式即可得出結(jié)果.
(3)方程f(x)=(1+a)sinx.即
2-a
4
=sin2x+sinx,x∈[0,2π)欲使方程f(x)=(1+a)sinx在[0,2π)上有兩解.則必須
2-a
4
∈(0,2)∪{-
1
4
},從而求出a的范圍即可.
解答:解:(1)f(x)=-sin2x+asinx+1-
a
4
-
1
2
,
∵0≤x≤
π
2

∴0≤sinx≤1
令sinx=t,則f(t)=-t2+at+
2-a
4
,t∈[0,1]
∴M(a)=
3a
4
-
1
2
(a≥2)
1
2
-
a
4
+
a2
4
(0<a≤2)
1
2
-
a
4
(a≤0)

(2)當M(a)=2時,
3a
4
-
1
2
=2⇒a=
10
3
;
1
2
-
a
4
+
a2
4
=2⇒a=3
或a=-2(舍);
1
2
-
a
4
=2⇒a=-6

a=
10
3
或a=-6.
①當a=-6時,f(x)min=-5;
②當a=
10
3
時,f(x)min=-
1
3

(3)方程f(x)=(1+a)sinx
即-sin2x+asinx+1-
a
4
-
1
2
=(1+a)sinx,
2-a
4
=sin2x+sinx,x∈[0,2π)
∵sin2x+sinx∈[-
1
4
,2],
∵方程f(x)=(1+a)sinx在[0,2π)上有兩解.
2-a
4
∈(0,2)∪{-
1
4
},
∴-6<a<2或a=3.
點評:本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì).在二次函數(shù)的性質(zhì)的使用的時候要特別注意對稱軸的位置.
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設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是(    )

  A.                         B.                 C.                      D..Co

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