設(shè)一次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象為C，且f（-1）=0．若點(diǎn)（n+1，
an+1
an
）（n∈N*）在曲線C上，并且a1=a2=1．
（1）求曲線C的方程；?
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；?
（3）設(shè)Sn=
a1
2!
+
a2
3!
+…+
an
(n+1)!
，求Sn．
分析：（1）設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），可求C的方程，然后由f（-1）=0及（2，
a2
a1
）在曲線C上，可求a，b
（2）由點(diǎn)（n+1，
an+1
an
）在曲線C上可得，
an+1
an
=n，從而利用疊乘可求an，
（3）由sn=
0!
2!
+
1!
3!
+…+
(n-1)!
(n+1)!
，化簡(jiǎn)后可以利用裂項(xiàng)可求數(shù)列的和
解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），則C的方程為y=
1
a
(x-b)
由f（-1）=0可得-a+b=0①
由（2，
a2
a1
）在曲線C上可得，1=
1
a
(2-b)
①②聯(lián)立可得，a=b=1
曲線C的方程為y=x-1
（2）由點(diǎn)（n+1，
an+1
an
）在曲線C上可得，
an+1
an
=n
∴
an
an-1
•
an-1
an-2
…
a2
a1
=(n-1)!
即
an
a1
=(n-1)!
∵a1=1
∴an=（n-1）!
（3）sn=
0!
2!
+
1!
3!
+…+
(n-1)!
(n+1)!

=
1
2×1
+
1
3×2
+…+
1
(n+1)n

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
=
n
n+1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了互為反函數(shù)的求解，數(shù)列的疊乘法求解數(shù)列的通項(xiàng)及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知一次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象為C，且f[f（1）]=-1，若點(diǎn)(n，
an+1
an
)(n∈N+)在曲線C上，并有a1=1，
an+1
an
-
an
an-1
=1(n≥2)
（1）求f（x）的解析式及曲線C的方程；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=
an
(n+2)!
，求證：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）設(shè)一次函數(shù)f（x）滿足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇a，b]（a＜b），則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“方正”函數(shù)．
①設(shè)g(x)=
1
2
x2-x+
3
2
是[a，b]上的“方正”函數(shù)，求常數(shù)a，b的值．
②問是否存在常數(shù)a，b（a＞-2），使函數(shù)h(x)=
1
x+2
是區(qū)間[a，b]上的“方正”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)一次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象為C，且f（-1）=0．若點(diǎn)（n+1，
an+1
an
）（n∈N*）在曲線C上，并且a1=a2=1．
（1）求曲線C的方程；?
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；?
（3）設(shè)Sn=
a1
2!
+
a2
3!
+…+
an
(n+1)!
，求Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年安徽省六安三中高二（上）國慶中秋假期每日一測(cè)數(shù)學(xué)試卷3（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)一次函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象為C，且f（-1）=0．若點(diǎn)（n+1，）（n∈N*）在曲線C上，并且a1=a2=1．
（1）求曲線C的方程；?
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；?
（3）設(shè)Sn=，求Sn．

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