已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象過A（t1,y1）、B(t2,y2)兩點(diǎn)，且滿足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.

(1)證明：y1=-a或y2=-a;

(2)證明：函數(shù)f(x)的圖像必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);

(3)若關(guān)于x的不等式f(x)＞0的解集為{x|x＞m或x＜n}（n＜m＜0），解關(guān)于x的不等式cx2-bx+a＞0.

解析：（Ⅰ）∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,

∴(a+y1)(a+y2)=0得y1=-a、y2=-a.

（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖像開口向上，圖像上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)均為-a且小于零，所以圖像x軸有兩個(gè)交點(diǎn);

    當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的圖像開口向下，圖像上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)均為-a且大于零，所以圖像x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

    所以函數(shù)f(x)的圖像與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).

（Ⅲ）∵ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＞m或x＜n}（n＜m＜0）,

∴a＞0,b＞0,c＞0

    從而方程cx2+bx+a=0的兩個(gè)根為x1=,x2=,則方程cx2-bx+a=0的兩個(gè)根為x1=-,x2=-.

    因?yàn)閚＜m＜0，所以-＜-,

    故不等式cx2-bx+a＞0的解集為{x|x＞-或x＜-}.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域?yàn)椋?1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
10
時(shí)，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域?yàn)锳，若對(duì)任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時(shí)，問是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實(shí)數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

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