Question

20．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（1）化C₁、C₂的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₂上的點P對應的參數為θ=$\frac{π}{2}$，Q為C₁上的動點，求PQ中點M到直線C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），利用平方關系可得普通方程．曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得普通方程．
（2）由已知P（3，4），Q$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，M$（\frac{3+cosα}{2}，\frac{4+\sqrt{3}sinα}{2}）$，直線C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6，利用互化公式可得直角坐標方程．再利用點到直線的距離公式、和差公式、三角函數的單調性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），
利用平方關系可得：${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，是焦點在y軸上的橢圓．
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=4+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
利用平方關系可得：（x-3）²+（y-4）²=1，是以（3，4）為圓心，1為半徑的圓．
（2）由已知P（3，4），Q$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，M$（\frac{3+cosα}{2}，\frac{4+\sqrt{3}sinα}{2}）$，
直線C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6，化為直角坐標方程：x-y-6=0．
d=$\frac{|\frac{3+cosα}{2}-\frac{4+\sqrt{3}sinα}{2}-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α-\frac{π}{6}）+13|}{2\sqrt{2}}$≤$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．當sin$（α-\frac{π}{6}）$=1時取等號．
∴PQ中點M到直線C₃：ρ（cosβ-sinβ）=6距離的最大值是$\frac{15\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、和差公式、三角函數的單調性與值域即可得出，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．