Question

（2011•延慶縣一模）對于數(shù)列{a_n}，如果存在一個數(shù)列{b_n}，使得對于任意的n∈N^*，都有a_n≥b_n，則把{b_n}叫做{a_n}的“基數(shù)列”．
（Ⅰ）設(shè)a_n=-n²，求證：數(shù)列{a_n}沒有等差基數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)a_n=n³-n²-2tn+t²，bn=n3-2n2-n+

5

4

，（n∈N^*），且{b_n}是{a_n}的基數(shù)列，求t的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)a_n=1-e^-n，bn=

n

n+1

，（n∈N^*），求證{b_n}是{a_n}的基數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假設(shè)數(shù)列{a_n}（a_n=-n²）存在等差基數(shù)列{b_n}，且b_n=kn+b，（k，b是實常數(shù)），則n²+kn+b≤0對于任意的n∈N^*均成立，與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)相矛盾，{a_n}不存在等差基數(shù)列．
（Ⅱ）f（n）=a_n-b_n=n2-(2t-1)n+t2-

5

4

，由{b_n}是{a_n}的基數(shù)列，知f（n）≥0任意的n∈N^*均成立，令 △=(2t-1)2-4(t2-

5

4

)=-4t+6，當(dāng)△≤0時，題設(shè)成立，；當(dāng)△＞0時，解得t≤

1

2

，
由此能求出t的取值范圍．
（Ⅲ）{b_n}是{a_n}的基數(shù)列?a_n≥b_n（n∈N^*）?1-e^-n≥

n

n+1

?（n+1）（1-e^-n）≥n?n+1≤eⁿ，由此能夠進(jìn)行證明．

解答：解：（Ⅰ）假設(shè)數(shù)列{a_n}（a_n=-n²）存在等差基數(shù)列{b_n}，
且b_n=kn+b，（k，b是實常數(shù)），
則-n²≥kn+b對于任意的n∈N^*均成立，
即n²+kn+b≤0對于任意的n∈N^*均成立，
與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)相矛盾，
所以，假設(shè)不成立，
所以{a_n}不存在等差基數(shù)列．…（3分）
（Ⅱ）f（n）=a_n-b_n=n2-(2t-1)n+t2-

5

4

，
∵{b_n}是{a_n}的基數(shù)列，
∴f（n）≥0任意的n∈N^*均成立，
令 △=(2t-1)2-4(t2-

5

4

)=-4t+6
（1）當(dāng)△≤0時，即：t≥

3

2

時，題設(shè)成立，
（2）當(dāng)△＞0時，即：t＜

3

2

時，

2t-1

2

＜1，
即二次函數(shù)f（n）的對稱軸在n=1的左端，
此時，題設(shè)成立的等價條件是f（1）≥0，
即：1-(2t-1)+t2-

5

4

≥0，
即t2-2t+

3

4

≥0，
解得t≤

1

2

或t≥

3

2

，
∴t≤

1

2

，
由（1）（2）可知，
t的取值范圍是(-∞，

1

2

)∪(

3

2

，+∞)． …（8分）
（Ⅲ）{b_n}是{a_n}的基數(shù)列?a_n≥b_n（n∈N^*）?1-e^-n≥

n

n+1

?（n+1）（1-e^-n）≥n?n+1≤eⁿ．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明n+1≤eⁿ：
①n=1時，1+1=2≤e，成立；
②假設(shè)n=k時，不等式成立，即k+1≤e^k，
則n=k+1時，k+1+1≤e^k+1＜e^k+1，不等式也成立，
由①，②得n+1≤eⁿ．
∴{b_n}是{a_n}的基數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是數(shù)列的知識體系不牢固．解題時要注意數(shù)學(xué)歸納法和反證法的靈活運用．