Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F在x軸上，且過點（1，2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過橢圓的一個焦點F₁作與x軸不垂直的任意直線l”交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值是”．命題中涉及了這么幾個要素：給定的圓錐曲線T，過該圓錐曲線焦點F₁的弦AB，AB的垂直平分線與焦點所在的對稱軸的交點M，AB的長度與F₁、M兩點間距離的比值．試類比上述命題，寫出一個關于拋物線C的類似的正確命題，并加以證明．
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于拋物線的一般性命題（不必證明）．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，可設拋物線C的方程為：y²=2px（p＞0），
∵拋物線C過點（1，2），
∴2²=2p，解得p=2．
∴拋物線C的方程為：y²=4x．
（Ⅱ）關于拋物線C的類似命題為：過拋物線y²=4x的焦點F（1，0）作與x軸不垂直的任意直線l，
交拋物線線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值為2．
證明如下：
設直線AB的方程為x=ty+1，t≠0，
代入y²=4x，消去x，得y²-4ty-4=0．
∵△=16t²+16＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，
∴線段AB中點P的坐標為（2t²+1，2t），
AB的垂直平分線MP的方程為y-2t=-t（x-2t²-1），
令y=0，解得x=2t²+3，
即M（2t²+3，0），
∴|FM|=2t²+2，
由拋物線定義知，|AB|=x₁+x₂+2=4t²+4，
∴．
（Ⅲ）過拋物線的焦點F作與對稱軸不垂直的任意直線l，交拋物線線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于點M，則為定值，且定值為2．
分析：（Ⅰ）設拋物線C的方程為：y²=2px（p＞0），由拋物線C過點（1，2），解得p=2．由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）關于拋物線C的類似命題為：過拋物線y²=4x的焦點F（1，0）作與x軸不垂直的任意直線l，
交拋物線線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則為定值，且定值為2．
證明：設直線AB的方程為x=ty+1，t≠0，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0．△=16t²+16＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，故線段AB中點P的坐標為（2t²+1，2t），AB的垂直平分線MP的方程為y-2t=-t（x-2t²-1），令y=0，得M（2t²+3，0），由此能推導出．
（Ⅲ）過拋物線的焦點F作與對稱軸不垂直的任意直線l，交拋物線線于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于點M，則為定值，且定值為2．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是圓錐曲線知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．