已知:M={a|函數(shù)y=2sinax在[-
π
3
,
π
4
]上是增函數(shù)},N={b|方程3-|x-1|-b+1=0有實(shí)數(shù)解},設(shè)D=M∩N,且定義在R上的奇函數(shù)f(x)=
x+n
x2+m
在D內(nèi)沒有最小值,則m的取值范圍是
 
分析:先確定出集合MN的范圍,求出集合D的范圍.再根據(jù)f(x)=
x+n
x2+m
在D內(nèi)沒有最小值,對函數(shù)的最小值進(jìn)行研究,可先求其導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,確定出函數(shù)的最小值在區(qū)間D的左端點(diǎn)取到即可,由于直接研究有一定困難,可將函數(shù)變?yōu)閒(x)=
x
x2+m
=
1
x+
m
x
,構(gòu)造新函數(shù)h(x)=x+
m
x
,將研究原來函數(shù)沒有最小值的問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)沒有最大值的問題,利用導(dǎo)數(shù)工具易確定出新函數(shù)的最值,從而解出參數(shù)m的取值范圍.
解答:解:∵M(jìn)={a|函數(shù)y=2sinax在[-
π
3
,
π
4
]上是增函數(shù),可得
T
2
3
且a>0,即
2a
3
,解得a
3
2
,故M={a|a
3
2
}
∵N={b|方程3-|x-1|-b+1=0有實(shí)數(shù)解},所以可得N={b|1<b≤2}
∴D=M∩N=(1,
3
2
]
f(x)=
x+n
x2+m
是定義在R上的奇函數(shù)
∴f(0)=0可得n=0
∴f(x)=
x
x2+m
,又f(x)=
x+n
x2+m
在D內(nèi)沒有最小值
∴f(x)=
x
x2+m
=
1
x+
m
x
,
若m≤0,可得函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù),函數(shù)在右端點(diǎn)
3
2
處取到最小值,不合題意
若m>0,令h(x)=x+
m
x
,則f(x)=
x+n
x2+m
在D內(nèi)沒有最小值可轉(zhuǎn)化為h(x)在D內(nèi)沒有最大值,下對h(x)在D內(nèi)的最大值進(jìn)行研究:
由于h′(x)=1-
m
x2
,令h′(x)>0,可解得x>
m
,令h′(x)<0,可解得x<
m
,由此知,函數(shù)h(x)在(0,
m
)是減函數(shù),在(
m
,+∞)上是增函數(shù),
當(dāng)
m
3
2
時(shí),即m≥
9
4
時(shí),函數(shù)h(x)在D上是減函數(shù),不存在最大值,符合題意
當(dāng)
m
≤1時(shí),即m≤1時(shí),函數(shù)h(x)在D上是增函數(shù),存在最大值h(
3
2
),不符合題意
當(dāng)1<
m
3
2
時(shí),即1<m<
9
4
時(shí),函數(shù)h(x)在(1,
m
)是減函數(shù),在(
m
,
3
2
)上是增函數(shù),必有h(1)>h(
3
2
)成立,才能滿足函數(shù)h(x)在D上沒有最大值,即有1+m>
3
2
+
m
3
2
,解得m>
3
2
,符合題意
綜上討論知,m的取值范圍是m>
3
2
,
故答案為m>
3
2
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況之間的關(guān)系,三角函數(shù)的周期求法及對三角函數(shù)圖象特征的理解,指數(shù)函數(shù)的值域及集合的運(yùn)算.考查了轉(zhuǎn)化的思想及分類討論的思想,計(jì)算的能力,本題綜合性強(qiáng)涉及到的知識點(diǎn)較多,屬于綜合題中的難題.
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3
,
π
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