Question

15．若曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+2a}\\{y=-m}\end{array}\right.$（m為參數），曲線C₂的極坐標方程（以平面直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸）為：ρ=4sinθ，若曲線C₁與C₂有公共點，則實數a的取值范圍是[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+2a}\\{y=-m}\end{array}\right.$（m為參數），消去參數化為普通方程：x+2y-2a=0．曲線C₂的極坐標方程為：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程，再利用直線與圓的位置關系即可得出．

解答 解：曲線C₁的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+2a}\\{y=-m}\end{array}\right.$（m為參數），消去參數化為普通方程：x+2y-2a=0．
曲線C₂的極坐標方程為：ρ=4sinθ，即ρ²=4ρsinθ，化為直角坐標方程：x²+y²=4y，配方為x²+（y-2）²=4，
可得圓心C₂（0，2），半徑r=2、
∵曲線C₁與C₂有公共點，則$\frac{|0+4-2a|}{\sqrt{5}}$≤2，解得：2-$\sqrt{5}$≤a≤2+$\sqrt{5}$．
∴實數a的取值范圍是[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]．
故答案為：[2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．