(2008•楊浦區(qū)二模)(文)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,若在曲線C1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ為正實數(shù))代替(x,y)得到曲線C2的方程F(λx,λy)=0,則稱曲線C1、C2關(guān)于原點“伸縮”,變換(x,y)→(λx,λy)稱為“伸縮變換”,λ稱為伸縮比.
(1)已知曲線C1的方程為
x2
9
-
y2
4
=1
,伸縮比λ=2,求C1關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線C2的方程;

(2)已知拋物線C1:y2=2x,經(jīng)過伸縮變換后得拋物線C2:y2=32x,求伸縮比λ.
(3)射線l的方程y=
2
2
x(x≥0)
,如果橢圓C1
x2
16
+
y2
4
=1
經(jīng)“伸縮變換”后得到橢圓C2,若射線l與橢圓C1、C2分別交于兩點A、B,且|AB|=
2
,求橢圓C2的方程.
分析:(1)曲線C1的方程為
x2
9
-
y2
4
=1
,伸縮比λ=2,根據(jù)“伸縮變換”后所得曲線C2的方程;
(2)拋物線C1:y2=2x,經(jīng)過伸縮變換后得拋物線C2:λ2y2=λx,⇒y2=
1
λ
x對照方程得出λ即可;
(3)根據(jù)C2、C1關(guān)于原點“伸縮變換”,對C1作變換(x,y)→(λx,λy)(λ>0),解方程組結(jié)合弦長公式得出關(guān)于λ的方程,解得λ,最后寫出橢圓C2的方程即得.
解答:解:(1)曲線C1的方程為
x2
9
-
y2
4
=1
,伸縮比λ=2,
∴C1關(guān)于原點“伸縮變換”后所得曲線C2的方程為:
4x2
9
-
4y2
4
=1
,即
4x2
9
-
y2
1
=1
;
(2)拋物線C1:y2=2x,經(jīng)過伸縮變換后得拋物線C2:λ2y2=λx,⇒y2=
1
λ
x
1
λ
=32,⇒則伸縮比λ=
1
32
;
(3)∵C2、C1關(guān)于原點“伸縮變換”,對C1作變換(x,y)→(λx,λy)(λ>0),
得到C2
λ2x2
16
+
λ2y2
4
=1
,(12分)
解方程組
y=
2
2
x (x≥0)
x2
16
+
y2
4
=1
得點A的坐標(biāo)為(
4
3
3
,
2
6
3
)
(14分)
解方程組
y=
2
2
x (x≥0)
λ2x2
16
+
λ2y2
4
=1
得點B的坐標(biāo)為(
4
3
2
6
)
(15分)
|AB|=
(
4
3
-
4
3
3
)
2
+(
2
6
-
2
6
3
)
2
=
2
2
|λ-1|
|λ|
=
2
,
化簡后得3λ2-8λ+4=0,解得λ1=2,λ2=
2
3

因此橢圓C2的方程為
x2
4
+y2=1
x2
36
+
y2
9
=1
.(18分)(漏寫一個方程扣2分)
點評:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想.屬于基礎(chǔ)題.
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