Question

已知圓O：x²+y²=r²（r＞0）與直線x-y+2

2

=0相切．
（1）求圓O的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（1，

3

3

）的直線l截圓所得弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l的方程；
（3）設(shè)圓O與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作兩條斜率分別為k₁，k₂的直線交圓O于B，C兩點(diǎn)，且k₁k₂=-2，試證明直線BC恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由圓O與直線相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可確定出圓的方程；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線x=1滿足題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，根據(jù)直線與圓相切，得到圓心到直線的距離d=r，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)直線l的方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（3）根據(jù)題意求出A的坐標(biāo)，設(shè)出直線AB的解析式，與圓方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理表示出兩根之積，將A的橫坐標(biāo)代入表示出B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而表示出B的縱坐標(biāo)，確定出B坐標(biāo)，由題中k₁k₂=-2，表示出C坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線BC的解析式，即可確定出直線BC恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵圓O：x²+y²=r²（r＞0）與直線x-y+2

2

=0相切，
∴圓心O到直線的距離d=

2 2

12+(-1)2

=2=r，
∴圓O的方程為x²+y²=4；   
（2）若直線l的斜率不存在，直線l為x=1，
此時(shí)直線l截圓所得弦長(zhǎng)為2

3

，符合題意；
若直線l的斜率存在，設(shè)直線為y-

3

3

=k（x-1），即3kx-3y+

3

-3k=0，
由題意知，圓心到直線的距離為d=

| 3 -3k|

9k2+9

=1，解得：k=-

3

3

，
此時(shí)直線l為x+

3

y-2=0，
則所求的直線為x=1或x+

3

y-2=0；
（3）由題意知，A（-2，0），設(shè)直線AB：y=k₁（x+2），
與圓方程聯(lián)立得：

y=k1(x+2) x2+y2=4

，
消去y得：（1+k₁²）x²+4k₁²x+（4k₁²-4）=0，
∴x_A•x_B=

4k12-4

1+k12

，
∴x_B=

2-2k12

1+k12

，y_B=

4k1

1+k12

，即B（

2-2k12

1+k12

，

4k1

1+k12

），
∵k₁k₂=-2，用

-2

k1

代替k₁得：C（

2k12-8

4+k12

，

-8k1

4+k12

），
∴直線BC方程為y-

-8k1

4+k12

=

4k1  1+k12 - -8k1  4+k12

2-2k12 1+k12 - 2k12-8 4+k12

（x-

2k12-8

4+k12

），
即y-

-8k1

4+k12

=

3k1

2-k12

（x-

2k12-8

4+k12

），
整理得：y=

3k1

2-k12

x+

2k1

2-k12

=

3k1

2-k12

（x+

2

3

），
則直線BC定點(diǎn)（-

2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：韋達(dá)定理，直線的兩點(diǎn)式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，以及恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，利用了分類(lèi)討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．