Question

已知函數(shù)y=（sinx+cosx）²+2cos²x，求：
（1）函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運(yùn)用同角的平方關(guān)系，二倍角公式及和差公式，化簡得到y(tǒng)=

2

sin（2x+

π

4

）+2，由正弦函數(shù)的最值和周期公式，即可得到答案；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解出x的范圍，即可得到增區(qū)間．

解答： 解：（1）y=（sinx+cosx）²+2cos²x
=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=1+2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
則函數(shù)y的最大值為2+

2

，最小值為2-

2

，
最小正周期為

2π

2

=π；
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即有kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的最值和周期，以及單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．