Question

已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，，∠ACB=90°，AA₁=4，E是AB的中點，F(xiàn)是AA₁的中點，
（1）求證A₁B⊥CE；
（2）求C₁F與側面ABB₁A₁所成角的正切值；
（3）求異面直線A₁B與C₁F所成角．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證A₁B⊥CE，應通過證明CE⊥側面AB₁得出．由直棱柱 的性質易證．
（2）取A₁B₁的中點E₁，則C₁E₁⊥平面ABB₁A₁，連接E₁F，∠C₁FE₁為C₁F與側面ABB₁A₁所成角，在直角三角形C₁E₁F中 求解即可．
（3）容易得知EF∥A₁B，∠C₁FE是異面直線A₁B與C₁F所成角（或補角），解三角形C₁FE即可．
解答：解：（1）因為直三棱柱，所以側面AB₁⊥底面ABC
又因為底面△ABC為等腰直角三角形，E是斜邊AB的中點
所以CE⊥AB，所以CE⊥側面AB₁，而A₁B?側面AB₁，所以A₁B⊥CE----（4分）
（2）取A₁B₁的中點E₁，則C₁E₁⊥平面ABB₁A₁，連接E₁F
∴∠C₁FE₁為C₁F與側面ABB₁A₁所成角-------------（6分）
在直角三角形C₁E₁F中，C₁E₁==2，，
∴
C₁F與側面ABB₁A₁所成角的正切值為．-----------（8分）
（3）因為E是AB的中點，F(xiàn)是AA₁的中點，所以EF∥A₁B，
即∠C₁FE是異面直線A₁B與C₁F所成角（或補角）-----（10分）
，


∴C₁E²=EF²+C₁F²，∴∠C₁FE=90°
即異面直線A₁B與C₁F成90角．-------（13分）
點評：本題考查直線和直線、直線和平面垂直、平行關系的判定，直線和直線、平面所成角的計算．考查考查空間想象能力、轉化、計算、推理論證能力．