設橢圓C與雙曲線D有共同的焦點F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),并且橢圓的長軸長是雙曲線實軸的長的2倍,試求橢圓C與雙曲線D交點的軌跡方程.
分析:設雙曲線實半軸長a,則橢圓半長軸的長2a,由由雙曲線、橢圓的定義求出|PF1|與|PF2|的關(guān)系,從而建立軌跡方程,并化簡.
解答:解:∵橢圓C與雙曲線D有共同的焦點F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),橢圓的長軸長是雙曲線實軸的長的2倍,
設雙曲線實半軸長a,a>0,則橢圓半長軸的長2a,橢圓C與雙曲線D交點為點P,
則由雙曲線、橢圓的定義得;|PF1|-|PF2|=±2a,|PF1|+|PF2|=4a.
∴|PF1|=3a,|PF2|=a,或|PF1|=a,|PF2|=3a,
|PF1|
|PF2|
=3,或
|PF1|
|PF2|
=
1
3
,即:
(x+4)2+y2
(x-4)2+y2
=3 或
1
3
,
∴所求的軌跡方程是:(x-5)2+y2=9,或(x+5)2+y2=9.
點評:本題考查雙曲線、橢圓的定義,軌跡方程的求法,屬于中檔題.
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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
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D.

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