Question

如圖，橢圓C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），點(diǎn)A₁，A₂為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與（1）中所述橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左、右頂點(diǎn)），且滿足AA₂⊥BA₂，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意知 

a-c=1 a+c=3

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由AA₂⊥BA₂，知（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0．聯(lián)立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，利用韋達(dá)定理和根的判別式能推導(dǎo)出7m²+16km+4k²=0，由此能夠證明直線l恒過定點(diǎn)(

2

7

，0)．

解答：解：（1）由題意知 

a-c=1 a+c=3

，
a=2，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AA₂⊥BA₂，∴（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0…．①
聯(lián)立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，

x1+x2=- 8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2 △=48(4k2-m2+3)

，代入①式整理，得7m²+16km+4k²=0，
所以（7m+2k）（m+2k）=0
當(dāng)7m=-2k時(shí)，滿足△＞0．此時(shí)，直線l：y=-

7

2

mx+m恒過點(diǎn)(

2

7

，0)
當(dāng)m=-2k時(shí)，滿足△＞0．此時(shí)，直線l：y=-

1

2

mx+m恒過點(diǎn)（2，0）不符合題意，舍．
所以，直線l恒過定點(diǎn)(

2

7

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、根的判別式、分類討論思想的合理運(yùn)用．