Question

（本題滿分12分）

某班一信息奧賽同學編了下列運算程序，將數(shù)據(jù)輸入滿足如下性質(zhì):

①輸入1時，輸出結(jié)果是；

②輸入整數(shù)時，輸出結(jié)果是將前一結(jié)果先乘以3n-5，再除以3n+1.

（1）   求f(2),f(3),f(4);

（2）  試由（1）推測f(n)（其中）的表達式，并給出證明.

 

Answer 1

【答案】

（1）;;.    

(2)猜想：（其中），以下用數(shù)學歸納法證明：見解析。

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想思想的運用，以及運用數(shù)學歸納法求證恒等式的綜合運用。

（1）由題設條件知f(1)= ,=,對于n令值，然后得到前幾個值。

（2）猜想：（其中）并運用數(shù)學歸納法，運用兩步來證明其成立。

解：由題設條件知f(1)= ,=,

;

;

.       ………………………………3分

(2)猜想：（其中）……………………5分

以下用數(shù)學歸納法證明：

（1）   當時，，

所以此時猜想成立。                ………………………………6分

（2）   假設時，成立

  那么時，

……………9分

所以時，猜想成立。

由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。

…………………………12分