Question

如圖：一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個(gè)半徑為x的內(nèi)接圓柱．
（1）試用x表示圓柱的體積；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值是多少．

Answer 1

解：（1）∵圓錐的底面半徑為2，高為6，
∴內(nèi)接圓柱的底面半徑為x時(shí)，它的上底面截圓錐得小圓錐的高為3x
因此，內(nèi)接圓柱的高 h=6-3x；
∴圓柱的體積V=πx²（6-3x） （0＜x＜2）---------------------------（6分）
（2）由（1）得，圓柱的側(cè)面積為
S_側(cè)=2πx（6-3x）=6π（2x-x²） （0＜x＜2）
令t=2x-x²，當(dāng)x=1時(shí)t_max=1．可得當(dāng)x=1時(shí)，（ S_側(cè)）_max=6π
∴當(dāng)圓柱的底面半徑為1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，側(cè)面積有最大值為6π．------------------------------（7分）
分析：（1）根據(jù)圓錐的底面半徑為2、高為6，可得內(nèi)接圓柱的半徑為x時(shí)，它的高h(yuǎn)=6-3x，由此結(jié)合圓柱體積公式即可列出用x表示圓柱的體積的式子；
（2）由（1）可得圓柱的側(cè)面積S_側(cè)=6π（2x-x²），結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得當(dāng)圓柱的底面半徑為1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，側(cè)面積有最大值為6π．
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊圓錐，求它的內(nèi)接圓錐的側(cè)面積的最大值，著重考查了圓柱的體積、側(cè)面積公式和旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)接外切等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．