Question

【題目】在極坐標系中，極點為，一條封閉的曲線由四段曲線組成：，，，.

（1）求該封閉曲線所圍成的圖形面積；

（2）若直線：與曲線恰有3個公共點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標系，利用，將極坐標方程轉化為直角坐標方程，進而用曲線的形狀求出該封閉曲線所圍成的圖形面積.

（2）將直線的極坐標方程轉化為直角坐標方程為，利用數形結合法求解.

（1）以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標系，

則曲線的直角坐標方程為，，

，.

如圖所示：

曲線由弧，弧，弧，弧四段圓弧組成，每段圓弧均在半徑為2的圓上，則該封閉曲線所圍成的圖形面積.

（2）直線的直角坐標方程為，即.

當直線經過點，，時，.

當直線經過點，，時，，

故的值為.