Question

某中學為豐富教工生活，國慶節(jié)舉辦教工趣味投籃比賽，有A、B兩個定點投籃位置，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分．其規(guī)則是：按先A后B再A的順序投籃．教師甲在A和B點投中的概率分別是

1

2

和

1

3

，且在A、B兩點投中與否相互獨立．
（Ⅰ）若教師甲投籃三次，試求他投籃得分X的分布列和數學期望；
（Ⅱ）若教師乙與甲在A、B點投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．

Answer 1

考點：相互獨立事件的概率乘法公式,互斥事件的概率加法公式,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由題意可知隨機變量X表示他投籃所得積分，由題意可得X的所有可能值為：0，2，3，4，5，7，利用隨機變量的定義及獨立事件的概率公式即可求得其分布列及期望；
（Ⅱ）教師甲在一場比賽中獲勝：分為五種情況，故所求的概率為P=

1

3

×

1

6

+

1

12

×(

1

6

+

1

3

)+

1

6

×(

1

6

+

1

3

+

1

12

)+

1

6

×（

1

6

+

1

3

+

1

12

+

1

6

）+

1

12

×(1-

1

12

)．

解答： 解：設“教師甲在A點投中”的事件為A，“教師甲在B點投中”的事件為B．
（Ⅰ）根據題意知X的可能取值為0，2，3，4，5，7
P（X=0）=P（

.

A

•

.

B

•

.

A

）=(1-

1

2

)2×（1-

1

3

）=

1

6

，
P（X=2）=P（A•

.

B

•

.

A

+

.

A

•

.

B

•A）=

C

1 2

×

1

2

×（1-

1

3

）×（1-

1

2

）=

1

3

，
P（X=3）=P（

.

A

•B•

.

A

）=（1-

1

2

）×

1

3

×（1-

1

2

）=

1

12

，
P（X=4）=P（A•

.

B

•A）=

1

2

×（1-

1

3

）×

1

2

=

1

6

，
P（X=5）=P（A•B•

.

A

+

.

A

•B•A）=

C

1 2

×

1

2

×

1

3

×（1-

1

2

）=

1

6

，
P（X=7）=P（A•B•A）=

1

2

×

1

3

×

1

2

=

1

12

，
所以X的分布列是：

X	0	2	3	4	5	7
P	1 6	1 3	1 12	1 6	1 6	1 12

則X的數學期望是EX=0×

1

6

+2×

1

3

+3×

1

12

+4×

1

6

+5×

1

6

+7×

1

12

=3；    
（Ⅱ）教師甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形．
這五種情形之間彼此互斥，因此，所求事件的概率P為：
P=

1

3

×

1

6

+

1

12

×(

1

6

+

1

3

)+

1

6

×(

1

6

+

1

3

+

1

12

)+

1

6

×（

1

6

+

1

3

+

1

12

+

1

6

）+

1

12

×(1-

1

12

)=

57

144

=

19

48

．

點評：此題考查了離散型隨機變量的定義及獨立事件的概率公式，還考查了隨機變量的分布列及期望，另外還考查了互斥事件的概率公式及學生的計算能力．