Question

設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和．已知

1

3

S3與

1

4

S4的等比中項(xiàng)為

1

5

S5，

1

3

S3與

1

4

S4的等差中項(xiàng)為1．求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式代入已知條件，建立d與a₁的方程，聯(lián)立可求得數(shù)列的首項(xiàng)a₁、公差d，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得a_n

解答：解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，公差為d，則通項(xiàng)為
a_n=a+（n-1）d，
前n項(xiàng)和為Sn=na+

n(n-1)

2

d，
依題意有

1 3 S3• 1 4 S4=( 1 5 S5)2 1 3 S3+ 1 4 S4=2

其中S₅≠0．
由此可得

1 3 (3a+ 3×2 2 d)× 1 4 (4a+ 4×3 2 d)= 1 25 (5a+ 5×4 2 d)2 1 3 (3a+ 3×2 2 d)+ 1 4 (4a+ 4×3 2 d)=2

整理得

3ad+5d2=0 2a+ 5 2 d=2

解方程組得

d=0 a=1

d=- 12 5 a=4

由此得a_n=1；或a_n=4-

12

5

（n-1）=

32

5

-

12

5

n．
經(jīng)驗(yàn)證知時(shí)a_n=1，S₅=5，或an=

32

5

-

12

5

n時(shí)，S₅=-4，均適合題意．
故所求等差數(shù)列的通項(xiàng)為a_n=1，或an=

32

5

-

12

5

n．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、方程組等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力．由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和確定基本量 d與a₁
之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用公式．