Question

如果以原點為圓心的圓經(jīng)過雙曲線C：（a＞0，b＞0）的頂點，并且被雙曲線的右準(zhǔn)線分成弧長之比為3：1的兩段弧，則雙曲線的離心率為________．

Answer 1

分析：由題意可得圓O的圓心為原點，半徑為a．根據(jù)圓O被雙曲線的右準(zhǔn)線分成弧長之比為3：1的兩段弧，得到直線x=被圓O截得A、B兩點，△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，由此可得=a，由此解出離心率
解答：∵雙曲線C：（a＞0，b＞0）的頂點坐標(biāo)為（±a，0），
∴圓O的方程為x²+y²=a²
∵雙曲線的右準(zhǔn)線：x=交圓O于AB兩點，優(yōu)弧AB長是劣弧AB的3倍
∴∠AOB=90°，可得△AOB是以AB為斜邊的等腰直角三角形
所以=a，可得e==
故答案為：
點評：本題以直線與圓相交構(gòu)成等腰直角三角形為例，求雙曲線的離心率，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．