a
=(
3
cosωx,sinωx)
,
b
=(sinωx,0),其中ω>0,記函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
+k.
(1)若f(x)圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2
,求ω的取值范圍.
(2)若f(x)的最小正周期為π,且當(dāng)x∈[-
π
6
,
π
6
]
時(shí),f(x)的最大值是
1
2
,求f(x)的解析式,并說明如何由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=f(x)的圖象.
分析:利用向量的數(shù)量積,化簡函數(shù)的表達(dá)式,通過二倍角、兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,
(1)利用周期與函數(shù)f(x)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2
,得到關(guān)系式,求出ω的取值范圍;
(2)通過周期求出ω,通過函數(shù)的最大值,求出x的值,然后確定k的值.利用函數(shù)圖象平移的原則:左加右減,上加下減由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到函數(shù)y=f(x)的圖象.
解答:解:∵
a
=(
3
cosωx,sinωx),
b
=(sinωx,0),
a
+
b
=(
3
cosωx+sinωx,sinωx).
故f(x)=(
a
+
b
)•
b
+k=
3
sinωxcosωx+sin2ωx+k
=
3
2
sin2ωx+
1-cos2ωx
2
+k=
3
2
sin2ωx-
1
2
cos2ωx+
1
2
+k
=sin(2ωx-
π
6
)+k+
1
2

(1)由題意可知
T
2
=
π
π
2
,∴ω≤1.
又ω>0,∴0<ω≤1.
(2)∵T=
=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin(2x-
π
6
)+k+
1
2

∵x∈[-
π
6
,
π
6
],∴2x-
π
6
∈[-
π
2
,
π
6
].
從而當(dāng)2x-
π
6
=
π
6
,即x=
π
6
時(shí),f(x)max=f(
π
6
)=sin
π
6
+k+
1
2
=k+1=
1
2
,
∴k=-
1
2
.故f(x)=sin(2x-
π
6
).
由函數(shù)y=sinx的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin(x-
π
6
)的圖象,再將得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="gqy6ogu" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
1
2
倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)的圖象.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡、公式的應(yīng)用、周期的求法、最值的應(yīng)用及函數(shù)圖象的變換,還考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力、計(jì)算能力,是常考題型.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

a
=(
3
cosωx,sinωx)
,
b
=(sinωx,0)
,其中ω∈(-
1
2
,
5
2
)
,函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2
,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=
π
3
對(duì)稱.
(1)求f(x)的解析式及f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)將y=f(x)的圖象向左平移
π
3
個(gè)單位,再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標(biāo)不變)后得到的y=g(x)的圖象;若函數(shù)y=g(x),x∈(
π
2
,3π)
的圖象與y=a的圖象有三個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

a
=(
3
cosωx,sinωx),
b
=(sinωx,0)
,其中ω>0,記函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
-
1
2

(1)若f(x)的圖象中兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離
π
2
,求ω及f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
(2)在(1)的條件下,且x∈[-
π
6
,
π
6
]
,求最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

a
=(
3
cosωx,sinωx),
b
=(sinωx,0)
,其中ω>0,函數(shù)f(x)=(
a
+
b
)•
b
+k

(1)若f(x)圖象申相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2
,求ω的取值范圍.
(2)若f(x)的最小正周期為π,且當(dāng)x∈[-
π
6
π
6
]
時(shí),f(x)的最大值是
1
2
,求f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

a
=(
3
cosωx,sinωx)
,
b
=(sinωx,sinωx),其中ω>0,記函數(shù)f(x)=2
a
b
,f(x)圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為
π
2
,
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的單調(diào)減區(qū)間和f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合.

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