Question

棱長都相等的三棱錐（正四面體）A-BCD中，AO⊥平面BCD，垂足為O，設M是線段AO上一點，且∠BMC是直角，則

AM

MO

的值為

 

．

Answer 1

考點：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關系與距離

分析：延長BO，交CD于點N，可得BN⊥CD且N為CD中點，設正四面體ABCD棱長為1，MO=x，在Rt△BOM中，根據(jù)BM=

2

2

，建立關于x的方程并解之，得x=

6

6

，再結(jié)合正四面體的高AO=

6

3

，得出MO=AM=

6

6

，從而得到所求的比值．

解答： 解：延長BO，交CD于點N，可得BN⊥CD且N為CD中點
設正四面體ABCD棱長為1，得
等邊△ABC中，BN=

3

2

，
∵AO⊥平面BCD，
∴O為等邊△BCD的中心，得BO=

3

3

，
Rt△ABO中，AO=

6

3

，
設MO=x，則Rt△BOM中，BM=

1 3 +x2

，
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM=

2

2

BC，即

1 3 +x2

=

2

2

，
解之得x=

6

6

，
由此可得AM=AO-MO=

6

6

，
∴MO=AM=

6

6

，得

AM

MO

=1
故答案為：1

點評：本題給出正四面體ABCD高線上一點M，使得三角形BCM是等腰直角三角形，求M分高線的比值，著重考查了正四面體的性質(zhì)和線面垂直位置關系的認識等知識，屬于中檔題．