Question

20、如圖，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC．
（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫出圖中所有互相垂直的各對(duì)平面．

Answer 1

分析：對(duì)于（1），要證明平面PAC⊥平面PBC，只需證明平面PBC內(nèi)的一條直線與平面PAC垂直即可，而根據(jù)條件，可以得到BC⊥PA，BC⊥AC，從而得到BC⊥平面PAC，由面面垂直的判定可得證；
對(duì)于（2），在（1）的條件下，可以找到幾對(duì)相互垂直的平面，由于D也是圓周上一點(diǎn)，且與C分居直徑AB的兩側(cè)，同理可以證明面面垂直，從而找到所有相互垂直的平面共5對(duì)．

解答：解：
（1）證明：∵C是AB為直徑的圓O的圓周上一點(diǎn)，
∴BC⊥AC．
又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，從而BC⊥平面PAC．
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
（2）解：平面PAC⊥平面ABCD；
平面PAC⊥平面PBC；
平面PAD⊥平面PBD；
平面PAB⊥平面ABCD；
平面PAD⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的判定，要注意轉(zhuǎn)化為線面垂直來進(jìn)行證明，體會(huì)立體幾何中降維思考．