Question

16．已知變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3≤0}\\{x+3y-3≥0}\\{y-1≤0}\end{array}\right.$，則F（x，y）=log₂（y+1）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）的最小值為-2．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，結(jié)合 的幾何意義求出可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)（-2，0）連線的斜率的最值得答案．

解答 解：F（x，y）=log₂（y+1）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）
可得F（x，y）=log₂$\frac{y+1}{x+1}$，x＞-1，y＞-1，
由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3≤0}\\{x+3y-3≥0}\\{y-1≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)（-1，-1）連線的斜率，
k_PA=$\frac{0+1}{3+1}$=$\frac{1}{4}$，k_PB=$\frac{1+1}{0+1}$=2．∵得y=log₂x是增函數(shù)，
∴F（x，y）=log₂$\frac{y+1}{x+1}$，
則F（x，y）=log₂（y+1）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）=log₂$\frac{y+1}{x+1}$的最小值為：F（3，0）=log₂$\frac{1}{4}$=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，是中檔題．