Question

如圖，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1）．若平面BEF⊥平面ACD，則λ的值為

6

7

．

Answer 1

分析：根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得EF∥CD，進(jìn)而可得EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理得到平面BEF⊥平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得BE⊥平面ACD，則BE⊥AC．故只須讓所求λ的值能證明BE⊥AC即可．解三角形△ABC中可求出λ的值．

解答：解：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC
又∵

AE

AC

=

AF

AD

=λ（0＜λ＜1），
∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，BE?平面ABC，
∴BE⊥EF，
又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=

2

，AB=

2

tan60°=

6

∴AC=

7

，
由AB²=AE•AC得AE=

6

7

故當(dāng)λ=

AE

AC

=

6

7

時(shí)，平面BEF⊥平面ACD
故答案為：

6

7

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的判定．在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直．