Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x－．

(1)當a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調性；

(2)f(x)在[1，e]上的最小值為，求實數(shù)a的值；

(3)試求實數(shù)a的取值范圍，使得在區(qū)間(1，＋∞)上函數(shù)y＝x2的圖象恒在函數(shù)y＝f(x)圖象的上方．

 

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數(shù)

（2）a＝－ （3）a≥－1

【解析】(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，

當a>0時，f′(x)>0恒成立，

故f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數(shù)．

(2)由f′(x)＝0得x＝－a，

①當a≥－1時，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為增函數(shù)．

f(x)min＝f(1)＝－a＝得a＝－(舍)．

②當a≤－e時，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上為減函數(shù)．

則f(x)min＝f(e)＝1－＝得a＝－(舍)．

③當－e<a<－1時，由f′(x)＝0得x0＝－a．

當1<x<x0時，f′(x)<0，f(x)在(1，x0)上為減函數(shù)；

當x0<x<e時，f′(x)>0，f(x)在(x0，e)上為增函數(shù)．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－．

綜上知：a＝－．

(3)由題意得：x2>ln x－在(1，＋∞)上恒成立，

即a>xln x－x3在(1，＋∞)上恒成立．

設g(x)＝xln x－x3(x>1)，則

g′(x)＝ln x－3x2＋1．

令h(x)＝ln x－3x2＋1，則

h′(x)＝－6x．

當x>1時，h′(x)<0恒成立．

∴h(x)＝g′(x)＝ln x－3x2＋1在(1，＋∞)上為減函數(shù)，

則g′(x)<g′(1)＝－2<0．

所以g(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，

∴g(x)<g(1)<－1，故a≥－1