Question

（2007•紅橋區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=e^x-x，
（Ⅰ）若f（x）上某點的切線平行于x軸，求這點的坐標及切線方程；
（Ⅱ）當x＞0時，求證：f（x）＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切線與x軸平行即切線的斜率k=0，令導函數(shù)等于0可求出切點橫坐標，從而得到切點坐標與切線方程；
（Ⅱ）由導數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性構(gòu)造不等式求解即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵y′=e^x-1  …（2分）
又切線與x軸平行，∴切線的斜率k=0．…（3分）
∴令y′=e^x-1=0，得x=0．…（4分）
∴切點坐標為（0，1）．…（5分）
∴切線方程為y=1．…（6分）
（Ⅱ）證明：不妨設(shè)F（x）=e^x-x-1，…（8分）
則F（x）=（e^x）′-（x）′=e^x-1．…（9分）
∵x＞0，∴e^x＞1，e^x-1＞0，
∴F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
當x＞0時，F(xiàn)（x）＞F（0），即e^x-x-1＞e⁰-1=0．
∴f（x）＞1．…（12分）

點評：本題考查利用導數(shù)證明不等式的問題．解題的關(guān)鍵是由導數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性構(gòu)造不等式求解．