Question

【題目】已知a＜0，函數(shù)f（x）=acosx+ + ，其中x∈[﹣ ， ]．
（1）設(shè)t= + ，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)g（t）；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）若對(duì)區(qū)間[﹣ ， ]內(nèi)的任意x1 ， x2 ， 總有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

又∵ ，∴cosx≥0，從而t2=2+2cosx，∴t2∈[2，4]．

又∵t＞0，∴ ，∵ ，∴ ，

（2）解：求函數(shù)f（x）的最大值即求 ， 的最大值．

，對(duì)稱軸為 ．

當(dāng) ，即 時(shí)， ；

當(dāng) ，即 時(shí)， ；

當(dāng) ，即 時(shí)，gmax（t）=g（2）=a+2；

綜上可得，當(dāng) 時(shí)，f（x）的最大值是 ；當(dāng) 時(shí)，f（x）的最大值是 ；

當(dāng) 時(shí)，f（x）的最大值是a+2

（3）解：要使得|f（x1）﹣f（x2）|≤1對(duì)區(qū)間 內(nèi)的任意x1，x2恒成立，

只需fmax（x）﹣fmin（x）≤1．也就是要求gmax（t）﹣gmin（t）≤1對(duì) 成立

∵當(dāng) ，即 時(shí)，gmin（t）=g（2）=a+2；

且當(dāng) 時(shí)，

結(jié)合問(wèn)題（2）需分四種情況討論：

① 時(shí)， 成立，∴ ；

② 時(shí)， ，即 ，

注意到函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，故p（a）＞p（ ）=﹣ ，

于是 成立，∴ ；

③ 時(shí) ，即 ，

注意到函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，

故 ，于是 成立，∴ ；

④ 時(shí)， ，即 ，∴ ；

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】（1）令 + =t，換元可得；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 ， 的最大值，由二次函數(shù)分類討論可得；（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為gmax（t）﹣gmin（t）≤1對(duì) 成立，分類討論可得．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為；當(dāng)時(shí)，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．