Question

9．已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，球O的表面積為16π，△ABC是邊長為3的正三角形，若SC⊥AB，SA⊥BC，則三棱錐S-ABC的體積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{9\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{27\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 作出棱錐S-ABC的高SD，由線面垂直的判定定理可知S在底面的投影為△ABC的中心，故當(dāng)球心O在棱錐內(nèi)部時棱錐體積最大，根據(jù)球的半徑和垂徑定理可計算出棱錐的高度．

解答 解：設(shè)球O的半徑為r，則4πr²=16π，∴r=2即OC=OS=2．
設(shè)S在平面ABC上的投影為D，則SD⊥平面ABC，
∴SD⊥AB，又SC⊥AB，SC?平面SCD，SD?平面SCD，SC∩SD=S，
∴AB⊥平面SCD，∵CD?SCD，
AB⊥CD，
同理：BC⊥AD，
∴D是△ABC的垂心，∴球心O在棱錐內(nèi)部時，棱錐的體積最大．
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，
∴CD=$\frac{2}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=1．
∴SD=OS+OD=3．
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•SD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×3$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
故選C．

點評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．