Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F(xiàn)分別是D₁B，AD的中點，cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

（1）以D為坐標(biāo)原點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出E點的坐標(biāo)；
（2）證明：EF是異面直線D₁B與AD的公垂線；
（3）求二面角D₁-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)D₁（0，0，2m）（m＞0），由cos＜

CE

，

DD1

＞=

3

3

構(gòu)造關(guān)于m的方程，可求出E點的坐標(biāo)；
（2）分別求出向量

BD1

，

EF

，

AD

的向量坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量垂直的充要條件，可證得

BD1

⊥

EF

，

EF

⊥

AD

，進(jìn)而由E∈D₁B，F(xiàn)∈AD可得EF是AD與D₁B的公垂線
（3）求出平面FD₁B的一個法向量

n

，結(jié)合向量

DD1

為底面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角D₁-BF-C的余弦值．

解答：解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A、B、C的坐標(biāo)分別為A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）．
設(shè)D₁（0，0，2m）（m＞0），則E（1，1，m）．
∵

CE

=（1，-1，m），

DD1

=（0，0，2m）
∴cos＜

CE

，

DD1

＞=

2m2

2+m2•2m

=

2m2

2+m2 •2m

=

3

3

解得m=1
故E點坐標(biāo)為（1，1，1）
證明：（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為2的正方體．
又∵FD=1，
∴F（1，0，0），
∴

BD1

=（-2，-2，2），

EF

=（0，-1，-1），

AD

=（-2，0，0）
∴

BD1

•

EF

=0+2-2=0，

EF

•

AD

=0+0+0=0
∴

BD1

⊥

EF

，

EF

⊥

AD

 
又∵E∈D₁B，F(xiàn)∈AD
∴故EF是AD與D₁B的公垂線
解：（3）設(shè)

n

⊥平面FD₁B，

n

=（x，y，z）
∴

n ⊥ D1F n ⊥ FB

，則

n • D1F =0 n • FB =0

又∵

D1F

=（1，0，-2），

FB

=（1，2，0）
∴

x-2z=0 x+2y=0

令z=1，則

n

=（2，-1，1）
則

DD1

與

n

所成角θ等于二面角D₁-FB-C的平面角，
cosθ=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

6 •2

=

6

6

∴二面角D₁-BF-C的余弦值為

6

6

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，空間坐標(biāo)系，線線垂直的充要條件，其中建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題和直線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量夾角和向量垂直問題是解答的關(guān)鍵．