Question

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且2a₁，a₃，3a₂成等差數(shù)列．
（Ⅰ） 求等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 若數(shù)列{b_n}滿足b_n=11-2log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，結(jié)合題意求出q的值，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意化簡 b_n，并判斷出數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求出首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，再對T_n進(jìn)行配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，a_n＞0
因?yàn)?a₁，a₃，3a₂成等差數(shù)列，所以2a₁+3a₂=2a₃，
即2a1+3a1q=2a1q2，
所以2q²-3q-2=0，解得q=2或q=-

1

2

（舍去），
又a₁=2，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=2n．

（Ⅱ）由題意得，b_n=11-2log₂a_n=11-2n，
則b₁=9，且b_n+1-b_n=-2，
故數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為9，公差為-2的等差數(shù)列，
所以Tn=

n(9+11-2n)

2

=-n2+10n=-（n-5）²+25，
所以當(dāng)n=5時(shí)，T_n的最大值為25．

點(diǎn)評：本題考查等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值，注意n的取值范圍．