Question

已知平面內(nèi)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)（

2

，0）和直線x=2

2

的比等于

2

2

（Ⅰ）求該曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是曲線C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？若存在，求F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式和題意列出方程，化簡后即可得曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ），由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

得：x₁x₂+2y₁y₂=0，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量相等得到 x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，把M、N代入橢圓方程化簡，結(jié)合式子的特點(diǎn)化簡x²+2y²，得到點(diǎn)P的軌跡方程，根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
由題意得：

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

，化簡得

x2

4

+

y2

2

=1，
所以曲線C的方程是

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ），
∵直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，所以x₁x₂+2y₁y₂=0，①
∵動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OM

+2

ON

，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂  ），則x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn)，∴x₁²+2y₁²-4=0，x₂²+2y₂²-4=0．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂ ）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂ ），
把①代入上式得：x²+2y²=20，即

x2

20

+

y2

10

=1，
所以點(diǎn)P是橢圓

x2

20

+

y2

10

=1上的點(diǎn)，
因?yàn)闄E圓

x2

20

+

y2

10

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為：F₁（-

10

，0）、F₂（

10

，0），
所以|PF₁|+|PF₂|=2

20

=4

5

為定值，
故存在兩個(gè)定點(diǎn)F₁（-

10

，0）、F₂（

10

，0），使得|PF₁|+|PF₂|為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，橢圓的定義，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．