Question

已知拋物線y²=4ax（a＞0且a為常數(shù)），F(xiàn)為其焦點(diǎn)．
（1）寫出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)F的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，且，求直線PQ的斜率；
（3）若線段AC、BD是過拋物線焦點(diǎn)F的兩條動(dòng)弦，且滿足AC⊥BD，如圖所示．求四邊形ABCD面積的最小值S（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知p=2a，進(jìn)而焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（a，0）．
（2）假設(shè)點(diǎn)為P（x，y）、Q（x₁，y₁），然后表示出、，再根據(jù)可以得到（a-x，-y）=2（x₁-a，y₁），再由y₁²=4ax₁，y²=4ax，可確定，進(jìn)而可得x=2a，y²=4ax=8a²，即，然后表示出直線PQ的斜率代入即可得到答案．
（3）設(shè)直線AC的斜率為k_AC=k（k≠0），可得到AC的方程然后與拋物線聯(lián)立得到兩根之和、兩根之積，根據(jù)弦長公式表示出|AC|并化簡，然后根據(jù)直線AC的斜率可得到直線BD的斜率求出|BD|的弦長，再表示出S_{四邊形ABCD}運(yùn)用基本不等式可確定答案．
解答：解：（1）∵拋物線方程為y²=4ax（a＞0），∴焦點(diǎn)為F（a，0）．
（2）設(shè)滿足題意的點(diǎn)為P（x，y）、Q（x₁，y₁）．
∵，
∴．
又y₁²=4ax₁，y²=4ax，
∴，．
∴．
（3）由題可知，直線AC既不平行x軸，也不平行y軸（否則AC，BD與拋物線不會(huì)有四個(gè)交點(diǎn)），
于是，設(shè)直線AC的斜率為k_AC=k（k≠0），則AC的方程為：y=k（x-a）．
聯(lián)立方程組，化簡得k²x²-2a（k²+2）x+k²a²=0（設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）），
則x₁、x₂是此方程的兩個(gè)根．
∴．
∴弦長
=
=
=．
又，∴．
于是，弦長．
∴
=（當(dāng)且僅當(dāng)，即k=±1時(shí)，等號成立）．
∴S（a）=32a²．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線和直線的綜合問題．直線和圓錐曲線的綜合題一般作為高考的壓軸題出現(xiàn)，要想解答正確，就必須對基礎(chǔ)知識熟練掌握．