Question

當(dāng)-π≤x≤π時(shí)，函數(shù)f（x）滿足2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x，則f（x）是

1. A.
   奇函數(shù)
2. B.
   偶函數(shù)
3. C.
   非奇非偶函數(shù)
4. D.
   既奇又偶函數(shù)

Answer 1

A
分析：欲判斷函數(shù)的奇偶性，只須驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系，故必須先由條件求得f（x）的解析式，考慮到將sinx看成整體，利用二倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即可達(dá)到目的．
解答：當(dāng)-π≤x≤π時(shí)，cosx=，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設(shè)t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=2t，①
從而：2f（t）+3f（-t）=-2t，②
由①②得：f（t）=2t，
當(dāng)π≤x≤π時(shí)，cosx=-，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設(shè)t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=-2t，
從而：2f（t）+3f（-t）=2t，
得：f（t）=-2t，
當(dāng)-π≤x≤-π時(shí)，cosx=-，
∴2f（-sinx）+3f（sinx）=sin2x
即：2f（-sinx）+3f（sinx）=2sinxcosx
設(shè)t=sinx，則2f（-t）+3f（t）=-2t，
從而：2f（t）+3f（-t）=2t，
得：f（t）=-2t，
∴當(dāng)-π≤x≤π時(shí)，函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)解析式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．